Bonjour, j’ai besoin d’aide pour cet exercice, je sais qu’il faut calculer l’intégrale, mais je bloque pour trouver les valeurs de « m »

Bonjour,

f(x) = -x² + 6x

⇒ F(x) = -x³/3 + 3x²  (+k)

⇒ A = F(6) - F(0) = -216/3 + 108 = 36 u.a.

⇒ A/8 = 36/8 = 9/2 u.a.

Les droites Dm d'équation y = mx interceptent C quand :

. m > 0 (D₀ d'équation y = 0 est alors l'axe des abscisses)

. m < m(max), m(max) étant le coefficient directeur de la tangente à C au point d'abscisse x = 0, soit m(max) = f'(0)

f'(x) = -2x + 6 ⇒ m(max) = f'(0) = 6

⇒ La condition d'existence d'un domaine compris entre C et Dm est donc :

m ∈ [0;6[    (6 exclus car alors ce domaine serait limité au point unique origine du repère).

Parenthèse : On peut aussi étudier la position relative de C et de Dm :

f(x) - mx = -x² + (6 - m)x = x(6 - m - x)

Sur [0;6], x ≥ 0, donc f(x) - mx est du signe de (6 - m - x) :

6 - m - x ≥ 0

⇔ 6 - m ≥ x

Or : 0 ≤ x ≤ 6

Donc il faut : 0 ≤ 6 - m ≤ 6 ⇔ -6 ≤ -m ≤ 0 ⇔ 6 ≥ m ≥ 0

Fin de la parenthèse

Pour m ∈ [0;6[, les points d'intersection entre C et Dm sont :

f(x) = mx

⇔ -x² + 6x = mx

⇔ x = 0 soit f(0) = 0

et x = 6 - m, soit f(x) = m(6 - m)

Donc l'aire du domaine compris entre C et Dm (f et mx étant des fonctions continues et positives sur l'intervalle [0 ; 6 - m]) vaut :

A' = Somme de 0 à (6-m) de [f(x) - mx]dx

= Somme de 0 à (6-m) de f(x)dx - Somme de 0 à (6-x) de mxdx

Primitive de mx = mx²/2

Donc A' = [F(6-m) - F(0)] - [m(6-m)²/2]

= -(6-m)³/3 + 3(6-m)² - m(6-m)²/2

= [-2(6-m)³ + 18(6-m)² - 3m(6-m)²}/6

A' = A/8

⇔  [-2(6-m)³ + 18(6-m)² - 3m(6-m)²}/6 = 9/2

⇔ -4(6-m)³ + (36 - 6m)(6-m)² = 54

⇔ -4(6-m)³ + 6(6 - m)(6-m)² = 54

⇔ -4(6-m)³ + 6(6-m)³ = 54

⇔ (6-m)³ = 27

⇒ 6 - m = 3

⇒ m = 3

Voir ci-dessous