20 pts..bonjour a tous svp aider moi a ecrire sous la forme trigonometrique lexpression suivante: merci d'avance !

Réponse :

Explications étape par étape

[tex]z=(\cos\alpha+\sin\alpha)+i(\cos\alpha-\sin\alpha)\\|z|=\sqrt{ (\cos\alpha+\sin\alpha)^2+(\cos\alpha-\sin\alpha)^2}\\|z|=\sqrt{ \cos^2\alpha+2\cos\alpha\sin\alpha+\sin^2\alpha+\cos^2\alpha-2\cos\alpha\sin\alpha+\sin^2\alpha}\\|z|=\sqrt{ \cos^2\alpha+\sin^2\alpha+\cos^2\alpha+\sin^2\alpha}\\|z|=\sqrt{2}\\[/tex]

[tex]z=\sqrt2\big[\frac{\sqrt2}{2} (\cos\alpha+\sin\alpha)+i\frac{\sqrt2}{2} (\cos\alpha-\sin\alpha)\big][/tex]

[tex]\frac{\sqrt2}{2} = \cos\frac{\pi}{4}=\sin\frac{\pi}{4}\\z=\sqrt2\big[(\cos\alpha\cos\frac{\pi}{4} +\sin\alpha\sin\frac{\pi}{4})+i(\cos\alpha\sin\frac{\pi}{4}-\sin\alpha\cos\frac{\pi}{4})\big]\\z=\sqrt2\big[(\cos(\frac{\pi}{4} -\alpha)+i(\sin(\frac{\pi}{4}-\alpha)\big][/tex]

Bonjour;

On a : cos(α) + sin(α) = √2(√2/2 cos(α) + √2/2 sin(α))

= √2(cos(π/4) cos(α) + sin(π/4) sin(α))

= √2cos(π/4 - α) ;

et : cos(α) - sin(α) = √2(√2/2 cos(α) - √2/2 sin(α))

= √2(sin(π/4) cos(α) - cos(π/4) sin(α))

= √2sin(π/4 - α) ;

donc : (cos(α) + sin(α)) + i (cos(α) - sin(α))

= √2cos(π/4 - α) + i √2sin(π/4 - α)

= √2(cos(π/4 - α) + i sin(π/4 - α))