Arithmétique dans Z Bonsoir j’ai besoin d’aide svp pour cet exercice(3) merci infiniment.

Réponse :

on cherche les possibilités

Explications étape par étape

peut-on  avoir     n +3 = 2(n-5)  ?  

c'est  à dire        n+3 = 2n  -10               n= 13   oui

n+3 = 3(n-5)  = 3n - 15             donc      2n=18              n=  9  oui

n+3= 4(n-5)    = 4n - 20              donc   3n=  23      impossible  

n+3 = 5(n-5)=5n-25          donc      4n= 28               n= 7   oui

n+3=6(n-5) =6n-30   donc     5n= 33     non  

n+3=7(n-5)= 7n-35         6n= 38             non

n+3=8(n-5)=8n-40            7n= 43     non

n+3=9(n-5)=  9n-45             8n= 48             n= 6  

ce qui est la plus petite valeur possible    donc   n=6 ; 7 ; 9 ; 13

b) n² + n +16  = (n-1)²  + 3 n +15    

pour que  n-1   divise   (n-1)²  + 3 n +15      il faut  que   n-1  divise  3n +15  

3n+15=k(n-1)    =  3(n+5)  

donc    ou    k est   multiple de 3       ou  n-1  est multiple de  3

si  k=3p           3p(n-1)=3(n+5)         p(n-1)= n+5  

n=2                p=7                  n=3      2p=8       p=4  

n=4                3p=9              p=3      

n=5              4p=10           non

n=6               5p=11          non

n=7                6p=12         p=2   c'est le minimum   donc  on a  déjà

n=2;4;7  

si     n-1= 3p    alors      3(3p+1+5)=3kp     donc  3p+6 = kp

3(p+2)= kp  

soit   k est multiple de 3    (cas précédent)  

soit   p est multiple de 3

p=3t              3(3t+2)= k(3t)         3t+2 = kt

t(k-3)= 2    on ne peut avoir  que     t=2    donc     p=6   donc n-1=18      n=19

ou      t=1     p=3            n-1=  9              n=10    

ce qui rajoute   10 et  19  

Réponse :

Explications étape par étape

a)

n-5 | n+3

n+3 = n-5+8

n-5 | n+3 <==> n-5 | 8

Les diviseurs de 8 sont : -8 ; -4 ; -2 ; -1 ; 1 ; 2 ; 4 ; 8

Les n >0 sont donc 5-4 ; 5-2 ; 5-1 ; 5+1 ; 5+2 ; 5+4 ; 5+8

donc n appartient à {1 ; 3 ; 4 ; 6 ; 7 ; 9 ; 13}

b)

n-1 | n²+n+16

n²+n+16 = (n-1)(n+2)+18

n-1 | n²+n+16 <==> n-1 | 18

les diviseurs de 18 sont : -18 ; -9 ; -6 ; -3 ; -2 ; -1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18

donc n appartient à {-17 ; -8 ; -5 ; -2 ; -1 : 0 ; 2 ; 3 ; 4 ; 7 ; 10 ; 19}