bonjour j'aurai besoin de votre aide pour ce devoir, car j'ai bientôt le contrôle et je ne comprends pas. Merci d'avance.

Réponse : Bonsoir,

1) [tex]f[/tex] est définie si :

[tex]x^{2}-3 \geq 0\\x^{2} \geq 3\\x \geq \sqrt{3}[/tex].

Donc le domaine de définition de [tex]f[/tex] est [tex]I=[\sqrt{3} ;+\infty[[/tex].

2) Soit [tex]4 < x < y[/tex], comparons [tex]f(x)[/tex] et [tex]f(y)[/tex]:

[tex]4 < x < y\\16 < x^{2} < y^{2} \quad car \: la \: fonction \: x^{2} \: est \: croissante \: sur \: \mathbb{R}+\\13 < x^{2}-3 < y^{2}-3\\\sqrt{13} < \sqrt{x^{2}-3}  < \sqrt{y^{2}-3}  \quad car \: la \: fonction \: racine \: est \: croissante\\\sqrt{13}  < f(x) < f(y)[/tex].

[tex]f(x) < f(y)[/tex] pour [tex]4 < x < y[/tex], donc [tex]f[/tex] est croissante sur [tex]]4;+\infty[[/tex].

3) [tex]f[/tex] est au dessus de [tex]g[/tex], si [tex]f(x) \geq g(x)[/tex], donc:

[tex]f(x) \geq g(x)\\\sqrt{x^{2}-3}  \geq 2x+3\\(\sqrt{x^{2}-3} )^{2} \geq (2x+3)^{2}\quad car \; 2x+3 \geq 0 \: sur \: I \: et \: la \: fonction \: carree \\\: est \: croissante \: sur \: I\\x^{2}-3 \geq 4x^{2}+12x+9\\3x^{2}+12x+12 \leq 0\\3(x^{2}+4x+4) \leq 0\\3(x+2)^{2} \leq 0\\(x+2)^{2} \leq 0[/tex].

Un carré n'étant jamais négatif, [tex](x+2)^{2} \geq 0[/tex], donc [tex](x+2)^{2} \leq 0[/tex], n'a pas de solution sur [tex]I[/tex].

Conclusion: Il n'existe aucun intervalle sur [tex]I[/tex], où la courbe de [tex]f[/tex] est au dessus de la courbe de [tex]g[/tex].