Bonjour ,comment faire pour calculer la dérivée du calcul ?merci d'avance

Réponse :

Explications étape par étape

Tu regardes "d'un peu loin" et tu vois une fraction u(x)/v(x) avec

u(x)=4(x-1)(x²+x+1) et v(x)=x²

On va donc avoir besoin de u'(x) et de v'(x)

Pour v'(x), pas de problème : v'(x)=2x

Mais u'(x) : u(x) est de la forme p(x)q(x)   (pour prendre une autre notation)

avec p(x) = 4(x-1) ==> p'(x)=4

et q(x) = x²+x+1 ==> q'(x)=2x+1

Donc u'(x)=p'(x)q(x)+p(x)q'(x) = 4(x²+x+1) + 4(x-1)(2x+1)

= 4(x²+x+1 + 2x²+x-2x-1)

4(3x²)=12x²

Il ne reste plus qu'à écrire f'(x)=( u'(x)v(x)-u(x)v'(x) ) / v²(x)

f'(x) = ( (12x²)(x²) - 4(x-1)(x²+x+1)(2x) ) / (x²)(x²)

=x(12x³ - 8(x³+x²+x-x²-x-1) ) / (x²)(x²)

= (12x³-8x³+8)/x³

f'(x) = 4(x³+2) / x³

Ca, c'est ce que ton prof attendais sans doute. On fait la preuve qu'on connait les formules des dérivées des produits et des quotients de fonctions.

Mais, on pouvais faire plus facile en effectuant avant :

f(x) = 4(x-1)(x²+x+1) / x²

= ( 4(x³+x²+x-x²-x-1) )/x²

= 4x³/x² -1/x²

=4x-1/x²

==> f'(x) = 4-(-2/x³) = (4x³+2)/x³

ou, de façon intermédiaire

u(x) = 4(x-1)(x²+x+1) = 4(x³+x²+x-x²-x-1) = 4x³-4

==> u'(x)=12x²

PS Quand j'écris (x²)(x²) et que je me dépêche de simplifier par x, c'est juste pour éviter d'écrire x^4 pour la puissance 4 parce que je ne trouve pas ça très beau ! Tu n'as bien sûr pas besoin d'en faire autant.