Bonjour, j’aurais besoin d’aide pour cette exo de terminale je bloque merci!!

Réponse :

Explications étape par étape

1) VRAI

[tex]f_n(x)=x^n\ln(1+x)\\f_n(1)=1^n\ln(1+1)=1\ln 2 =\ln 2[/tex]

2) VRAI

[tex]f_n(x)=x^n\ln(1+x)\\u_n=f_n(2)=2^n\ln 3\\u_{n+1}=2u_n\\\\\left\{\begin{array}{l}u_1=2\ln 3\\q=2\end{array}\right.[/tex]

3) VRAI

On calcule la dérivée de la fonction.

La fonction est de la forme f(x)=u(x).v(x), donc f'(x)=u'(x).v(x)+u(x).v'(x)

[tex]f_n(x)=x^n\ln(1+x)\\\\\begin{array}{ccc}u(x)=x^n&\quad&u'(x)=nx^{n-1}\\v(x)=\ln(1+x)&&v'=\frac{1}{1+x} \end{array}\\\\f_n'(x)=nx^{n-1}\ln(1+x)+\frac{x^n}{1+x}\\f_n'(x)=x^{n-1}[n\ln(1+x)+\frac{x}{1+x}]\\f_n'(0)=0\\[/tex]

4) FAUX

[tex]x\in [0;1] \Rightarrow f_n(x)=x^n\ln(1+x)\ge0[/tex]

On va donc pouvoir comparer à 1 le quotient [tex]\frac{f_{n+1}(x)}{f_n(x)}[/tex]

[tex]\frac{f_{n+1}(x)}{f_n(x)}=\frac{x^{n+1}\ln(1+x)}{x^n\ln(1+x)}=x[/tex]

x est inférieur ou égal à 1. On a donc [tex]f_{n+1}(x)\le f_n(x)[/tex]