Mathématiques

Question

Salut j'ai cet exercice à faire en DM pour lundi merci de votre aide :
ABCD et EFGB sont deux carrés, tels que C ⊂ [BG] et B ⊂ [AE], comme sur la figure ci-contre.

1. On considère que AB=1 et BE =3
a) Dans le repère (A ; B ; D), déterminer une équation de (AG) et une équation de (CE).
b) En déduire les coordonnées de leur point d'intersection K.

2. Démontrer que K appartient à (DF).
3. Conclure pour les trois droites (AG), (CE) et (DF).
Salut j'ai cet exercice à faire en DM pour lundi merci de votre aide : ABCD et EFGB sont deux carrés, tels que C ⊂ [BG] et B ⊂ [AE], comme sur la figure ci-cont

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1 Réponse

  • Bonjour,

    On va donner à chaque point des coordonnées dans le repère (A;B;D)

    A(0;0) (origine du repère)
    B(1;0)
    D(0;1)
    C(1;1)
    E(4;0). (sachant que AB=1 et BE=3, donc AE =4)
    G(1;3)
    F(4;3)

    Ensuite trouvons un vecteur directeur de la droite (AG) et de la droite (CE)

    (AG) a pour vecteur directeur (1;3)
    (CE) a pour vecteur directeur (3;-1)

    Maintenant trouvons l'équation de la droite
    On sait qu'un vecteur directeur a pour coordonnées (-b;a).
    Donc l'équation de la droite (AG) est : ax+by+c
    On a donc 3x-y+c=0
    Sachant que la droite passe par (0;0), c est donc nul
    On a donc 3x-y=0 pour l'équation de la droite (AG)
    Équation réduite: y=3x

    On fait la même chose pour la droite (CE)
    qui a donc pour équation: -x-3y+c=0
    Remplaçons x et y par les coordonnées d'un des points pour trouver c, par exemple le point C(1;1)
    On a donc -1-3+c=0 ; c=4
    Donc l'équation de la droite (CE) est : -x-3y+4=0
    Équation réduite: y=-1/3x+4/3

    3) Les coordonnées de K vérifient à la fois l'équation
    y=3x et y=-1/3x+4/3

    Résolvons ce système:
    y=3x
    3x=-1/3x+4/3
    10/3x=4/3
    x=4/3/10/3
    =12/30

    On remplace x dans une des équation pour trouver y
    y=3x y=12/30*3 y=6/5
    Donc K(12/30;6/5)

    2) La droite (DF) a pour vecteur directeur (4;2)
    Et pour équation 2x-4y+c=0
    Remplaçons x et y par les coordonnées de D par exemple
    On a donc -4+c=0 ; c=4
    donc l'équation de la droite (DF) est: 2x-4y+4=0

    Maintenant remplaçons les coordonnées de K dans l'équation de (DF)
    On a donc 2*12/30-4*6/5+4=0
    Les coordonnées de K vérifient donc l'équation
    Donc K appartient à la droite (DF)

    3) Les trois droites sont concourantes en K

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