C’est ma dernière chance, bonjour, est-ce que quelqu’un pourrait m’aider à faire cet exercice sur les applications de la dérivation avec un graphique ( voir pho
Question
1 Réponse
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1. Réponse taalbabachir
Réponse :
f(x) = 8 x - 3 x²)/(x²- x + 1)
1) a) justifier que f est définie sur R
x² - x + 1 ≠ 0
Δ = 1 - 4 = - 3 ⇒ Δ < 0 donc pas de racine
puisque a > ⇒ x²- x + 1 > 0 pour tout x de R
Donc f est définie sur R
b) montrer que pour tout x; f(x) = - 5 x² - 6 x + 8)/(x² - x + 8)²
f(x) = (8 x - 3 x²)/(x² - x + 8)
soit u = 8 x - 3 x² ⇒ u ' = 8 - 6 x
v = x² - x + 8 ⇒ v ' = 2 x - 1
(u/v) ' = (u 'v - u v ')/v² = [(8 - 6 x)(x²- x +1) - (8 x - 3 x²)(2 x - 1)]/(x²-x+1)²
[8 x² - 8 x + 8 - 6 x³ + 6 x² - 6 x - (16 x² - 8 x - 6 x³ + 3 x²)]/(x²-x+1)²
-6 x³ + 14 x² - 14 x + 8 - 16 x² + 8 x + 6 x³ - 3 x²)/(x²-x+1)²
f '(x) = (- 5 x²- 6 x + 8)/(x² - x+1)²
2) a) étudier le signe de f '(x)
or (x² - x + 1)² > 0
le signe de f '(x) dépend du signe de - 5 x² - 6 x + 8
- 5 x² - 6 x + 8 = 0
Δ = 36 + 160 = 196 ⇒√196 = 14
x1 = 6 + 14)/-10 = - 2
x2 = 6 - 14)/- 10 = - 8/-10 = 4/5
x - ∞ - 2 4/5 + ∞
f(x) - 0 + 0 -
f '(x) ≥ 0 entre [- 2 ; 4/5]
f '(x) ≤ 0 entre ]-∞ ; - 2] et [4/5 : + ∞[
b) donner le tableau de variation de f
x - ∞ - 2 0.8 + ∞
f(x) - 3 →→→→→→→→→→ - 4→→→→→→→→→→ 5.6 →→→→→→→→ - 3
décroissante croissante décroissante
3) déterminer une équation de la tangente au point d'abscisse 5
l'équation de la tangente est : y = f(5) + f ' (5)(x - 5)
f '(5) = (- 5*5² - 6*5 +8)/(5² - 5 + 1)²
= - 125 - 30 + 8)/(25 - 5 + 1)²
= - 147/21² ≈ - 0.33
f (5) = 8*5 - 3*5²)/21 ≈ - 1.66
y = - 1.66 - 0.33 x + 1.65
= - 0.33 x - 0.01
Explications étape par étape
Calcul des limites en - ∞ et + ∞ de la fonction f(x) = 8 x - 3 x²)/(x² - x + 1)
lim f(x) = lim x²(8/x - 3)/x²(1 - 1/x + 1/x²) = - 3
x→+ et -∞ x→+ et -∞