1.soit f la fonction définie sur [0;10] par : f(x)=x²(100-x²) a. étudier le sens de variation de f . b. pour quelle valeur de x, f admet-elle un maximum ?

Bonsoir

a) [tex]f(x) = x^2(100 - x^2)\\\\f(x)=100x^2 -x^4\\\\f'(x)=200x-4x^3\\\\f'(x)=4x(50-x^2)\\\\racines:4x=0\Longrightarrow x=0\\\ .\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 50-x^2=0\Longrightarrow x^2=50\\ .\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longrightarrow x=-\sqrt{50}=5\sqrt{2}\approx-7,1\ \ ou\ \ x=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\approx7,1[/tex]

[tex]\begin{array}{|c|ccccccccc||}x&\infty&&-5\sqrt{2}&&0&&5\sqrt{2}&&+\infty\\ 4x&&-&-&-&0&+&+&+&\\ 50-x^2&&-&0&+&+&+&0&-&\\ f'(x)&&+&0&-&0&+&0&-& \\\end{array}[/tex]

Or x ∈ [0 ; 10]

[tex]\begin{array}{|c|ccccc||}x&0&&5\sqrt{2}&&10\\ 4x&0&+&+&+&+\\ 50-x^2&+&+&0&-&-\\ f'(x)&0&+&0&-&-\\ f(x)&0&\nearrow&2500&\searrow&0 \\\end{array}[/tex]

La fonction f est croissante sur  [tex][0 ;5\sqrt{2}][/tex] et est décroissante sur  [tex][5\sqrt{2};10][/tex]

b) f admet un maximum pour  [tex]x=5\sqrt{2}\approx7,1[/tex]
La valeur de ce maximum est égale à 2500