Bonjour, j ai un exercice de maths à faire mais j ai beau essayer mais je n'y arrive pas. Voici l'énoncé : Montrer que pour tout x réel, x4 ≥ 2x3−2 il me faut u

Réponse :

Explications étape par étape

Je suppose que tu voulais écrire :

[tex]x^4\ge2x^3-2[/tex]

et j'espère que tu as vu les dérivées

[tex]x^4\ge2x^3-2\Leftrightarrow x^4-2x^3+2\ge0[/tex]

On va étudier les variations de la fonction correspondante.

[tex]f(x)=x^4-2x^3+2\\f'(x)=4x^3-6x^2=2x^2(2x-3)\\[/tex]

Ce qui nous donne le tableau de variation :

[tex]\left[\begin{array}{c|ccccccc}x&-\infty&&0&&\frac{3}{2}&&+\infty\\f'(x)&&-&0&-&0&+\\f(x)&+\infty&\searrow&&\searrow&f(\frac{3}{2})&\nearrow&+\infty\end{array}\right][/tex]

Le minimum de la fonction est donc atteint pour x=3/2

[tex]f(\frac{3}{2})=(\frac{3}{2})^4-2(\frac{3}{2})^3+2\\=\frac{81}{16} -2\frac{27}{8} +2\\=\frac{81}{16} -\frac{108}{16}+\frac{32}{16}  = \frac{5}{16}[/tex]

La fonction est donc toujours positive et donc la proposition est vérifiée.