Bonjour j'ai du mal sur cet exercice, pouvez vous m'aider ?

Réponse : Bonjour,

a) Tout d'abord, [tex](n_{1}(x_{1}-x)^{2})'=-1 \times n_{1} \times 2(x_{1}-x)=-2n_{1}(x_{1}-x)[/tex], par la formule de dérivation des fonctions composées, soient [tex]u, v[/tex] deux fonctions alors [tex](u(v(x))'=v'(x)u'(v(x))[/tex].

On a donc:

[tex]f'(x)=\frac{-2n_{1}(x_{1}-x)-2n_{2}(x_{2}-x)+...-2n_{p}(x_{p}-x)}{N}\\f'(x)=\frac{2(-n_{1}(x_{1}-x)-n_{2}(x_{2}-x)+...-n_{p}(x_{p}-x))}{N}\\f'(x)=\frac{2(-n_{1}x_{1}-n_{2}x_{2}+...-n_{p}x_{p}+n_{1}x+n_{2}x+...+n_{p}x)}{N}\\f'(x)=2\frac{(-(n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}+...+n_{p}x_{p}))}{N}+2\frac{x(n_{1}+...+n_{p})}{N}\\f'(x)=2(-\overline{x}+x \times 1)=2(x-\overline{x})[/tex].

On passe de l'avant dernière ligne à la dernière ligne car:

[tex]\overline{x}=\frac{n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}+...+n_{p}x_{p}}{N} \quad et \quad \frac{n_{1}+n_{2}+...+n_{p}}{N}=1[/tex].

b) On a donc [tex]f'(x) >0[/tex], si [tex]x-\overline{x} >0[/tex], donc [tex]x>\overline{x}[/tex] et par complémentarité, [tex]f'(x)<0[/tex], si [tex]x < \overline{x}[/tex].

Donc [tex]f[/tex] est croissante sur [tex]]\overline{x};+\infty[[/tex] et décroissante sur [tex]]-\infty;\overline{x}[[/tex].

On a donc le tableau de variations suivant:

x          -∞                           [tex]\overline{x}[/tex]                   +∞

f'(x)                  -                              +

f(x)  (flèche décroissante)   [tex]f(\overline{x})[/tex]             (flèche croissante)

c) D'après le tableau de variations précédent, [tex]f[/tex] admet un minimum en [tex]x=\overline{x}[/tex].

La valeur de ce minimum est [tex]f(\overline{x})[/tex]:

[tex]f(\overline{x})=\frac{n_{1}(x_{1}-\overline{x})^{2}+n_{2}(x_{2}-\overline{x})^{2}+...+n_{p}(x_{p}-\overline{x})^{2}}{N}[/tex].

[tex]f(\overline{x})[/tex] est l'expression de la variance de la série statistique.