Bonjour je suis en 1 er et j’ai un exercice que je comprend pas pouvez-vous m’aider svp

Réponse :

mercii

Explications étape par étape

Réponse : Bonjour,

1) On a:

[tex](1+i)z-1=0\\(1+i)z=1\\z=\frac{1}{1+i}=\frac{1-i}{(1+i)(1-i)}=\frac{1-i}{1^{2}-i^{2}}=\frac{1-i}{1-(-1)}=\frac{1-i}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i[/tex].

2)[tex]iz+2=0\\iz=-2\\z=-\frac{2}{i}=-\frac{2i}{i^{2}}=-\frac{2i}{-1}=2i[/tex].

3) [tex]f(z)=0[/tex] revient à [tex][(1+i)z-1](iz+2)=0[/tex], donc un produit de facteurs est nul si et seulement si un des facteurs est nul, donc:

[tex](1+i)z-1=0 \quad ou \quad iz+2=0\\z=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i \quad \quad \quad ou \quad z=2i[/tex].

Donc les solutions de l'équation [tex]f(z)=0[/tex] sont [tex]z=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i[/tex] et [tex]z=2i[/tex].

4) On a:

[tex]f(1-3i)=[(1+i)(1-3i)-1](i(1-3i)+2)\\f(1-3i)=[1-3i+i-3i^{2}-1](i-3i^{2}+2)\\f(1-3i)=[1-2i+3-1](i+3+2)\\f(1-3i)=(3-2i)(i+5)\\f(1-3i)=3i+15-2i^{2}-10i\\f(1-3i)=-7i+15+2\\f(1-3i)=-7i+17[/tex]