20 pts...Bsr a tous svp aider moi a resoudre cette equation dans C voici ma réponse jai trouvé S={(11^1/2)/ 2 -i/2 ; - 11^(1/2)/2 -i/2} mrc d'avance.

Réponse :

[tex]S = \left\{-\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{11}}{2}i, -\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{11}}{2}i\right\}[/tex]

Explications étape par étape

Soit [tex]z\in\mathbb{C}[/tex] de la forme [tex]z=a+bi~(a,b\in\mathbb{R})[/tex]. En conséquence, [tex]\overline{z}=a-bi[/tex]. En substituant dans l'équation donée:

[tex]z^2-\overline{z}+2=0\\\\(a+bi)^2-(a-bi)+2 = 0\\\\(a^2+2abi+(bi)^2)-a+bi+2=0\\\\a^2+2abi-b^2-a+bi+2=0\\\\(a^2-b^2-a+2)+(2ab+b)i=0[/tex]

Puisque le côté droit est nul, la partie réelle et la partie imaginaire gauche sont également nulles. Alors,

[tex]\begin{cases}a^2-b^2-a+2=0~~~(i)\\2ab+b=0~~~(ii)\end{cases}[/tex]

Par (ii):

[tex]2ab+b=0\\\\b(2a+1)=0\\\\\Longrightarrow b=0~~ou~~a=-\dfrac{1}{2}[/tex]

· Si b = 0, par (i):

[tex]a^2-b^2-a+2 = 0\\\\a^2-a+2=0\\\\\Delta=(-1)^2-4\cdot1\cdot2=1-6=-5[/tex]

Ce qui est impossible, puisque a est un nombre réel.

· Si a = -1/2, par (i):

[tex]a^2-b^2-a+2 = 0\\\\\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2-b^2-\left(-\dfrac{1}{2}\right)+2=0\\\\\dfrac{1}{4}-b^2+\dfrac{1}{2}+2=0\\\\b^2=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}+2=0\\\\b^2 = \dfrac{11}{4}\Longrightarrow b=\pm\dfrac{\sqrt{11}}{2}[/tex]

Donc,

[tex]\boxed{z=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{11}}{2}i}~~ou~~\boxed{z=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{11}}{2}i}[/tex]