bonjour, quelqu’un pourrait m’aider pour l’exercice 3 svp ? Car je n’y arrive pas trop :/ Merci d’avance ! (terminale Sti2d)

Réponse :

ex3

Explications étape par étape

f(x)=1/(e^2x+1)

1)limites: si x tend vers-oo, e^2x tend vers 0 donc f(x) tend vers1/1=1(-)

si x tend vers +oo, e^2x tend vers+oo donc f(x) tend vers 1/+oo=0(+)

2) f(x) a donc deux asymptotes horizontales y=0 et y=1

3)dérivée f(x)est de la forme u/v sa dérivée est donc (u'v-v'u)/v²     avec  u=1     u'=0  et v=e^2x+1    v'=2e^2x

ce qui donne f'(x)=-2e^2x/(e^2x+1)²

4) tableau de variation: e^2x étant tjrs>0 f'(x) est <0 donc f(x) est décroissante sur R

x.......-oo..............................................................................+oo

f'(x)........................................-...................................................

f(x)..1(-).............................décroissante................................0(+)

5)f(0)=1/(e^0  +1)=1/2

f'(0)=-2(e^0)/(e^0+1)²=-2 /4=-1/2

6) Equationde (T0)  y=f'(0)(x-0)+f(0)=(-1/2)x+1/2

8)(e²+1)/(e^-2  +1)=(e²+1)/(1/e²+1) mais 1/e²+1=(e²+1)/e²

ce qui donne (e²+1)*e²/(e²+1) et  après simplification il reste e²

9)H(x)=(1/2)ln(e^2x+1) on dérive H(x) sachant que la derivée de lnu(x) est u'(x)/u(x) ce qui donne :

h(x)=(1/2)(2e^2x)/(e^2x+1)=(e^2x)/(e^2x +1)

10) Je cherche : j'ai pensé à une intégration par parties en posant f(x)=[e^2x/(e^2x+1)]*e^-2x

avec u'=e^2x /(e^2x+1)  donc u=(1/2)ln(2^2x+1)

         v=e^-2x donc v'=-2e^-2x

F(x)=u*v-P u'v      (je n'ai pas vu la solution)

Espérons qu 'un prof de math viendra à notre secours..