Bonjour j'aurais vraiment besoin d'aide pour cette exercice, merci d'avance! On considère l'équation (E) : 336x+60y = 12 avec x et y entiers naturels 1) Justifi
Mathématiques
manon457
Question
Bonjour j'aurais vraiment besoin d'aide pour cette exercice, merci d'avance!
On considère l'équation (E) : 336x+60y = 12 avec x et y entiers naturels
1) Justifiez que l'équation (E) admet au moins un couple d'entiers relatifs solution.
2) Déterminez un couple d'entiers relatifs solution de l'équation (E)
3) Résoudre l'équation (E)
On considère l'équation (E) : 336x+60y = 12 avec x et y entiers naturels
1) Justifiez que l'équation (E) admet au moins un couple d'entiers relatifs solution.
2) Déterminez un couple d'entiers relatifs solution de l'équation (E)
3) Résoudre l'équation (E)
1 Réponse
-
1. Réponse gryd77
Réponse :
Explications étape par étape
1)
336=12 x 28
60=12 x 5
(E) : 336x+60y=12 <==> 28x+5y=1
PGCD(28,5)=1
Bézout ==> il existe x et y entiers relatifs vérifiant (E)
2)
Algorithme d'Euclide:
28=5x5+3
5=1x3+2
3=1x2+1
2=2x1+0
Remontée et ré-écrivant le dernier reste(=1)
1=3-2
2=5-3 ==> 1=3-(5-3)=2x3-5
3=28-5x5 ==> 1=2(28-5x5)-5 = 2x28-11x5
Le couple (2;-11) est une solution
3)
puisque 5 et 28 sont premiers entre eux, toutes les autres solutions viennent de k x 28 x 5 - k x 5 x 28 = 0
Les solutions (x;y) sont donc
S = {2+5k ; -(11+28k)} avec k entier relatif