bjr besoin d'aide svp terminal s

Réponse :

Explications étape par étape :

exo 1 :

■ Z1 = (√6 - i√2)/2 donne

    tan â = -√2/√6 = -1/√3

       --> â = -π/6 radian !

√6 / 2 = √2 * cos(-π/6)

donc Z1 = √2 * ( cos(-π/6) + i sin(-π/6) )

remarque : √2 est appelé "module" ;

                  -π/6 est appelé "argument" .

■ Z2 = √2 * ( cos (-π/4) + i sin(-π/4) )

■ Z1 / Z2 = 0,5 (√6 - i√2) * (1+i) / 2

               = 0,25 ( √6 + i√6 - i√2 + √2 )

               = 0,25 ( √6+√2 + i (√6-√2) ) <-- forme algébriq !

   tan ê = (√6-√2) / (√6+√2) --> ê = π/12 radian !  

   donc Z1 / Z2 =  cos(π/12) + i sin(π/12)  <-- forme trigo !

■ conclusion : on a bien cos(π/12) =  (√6+√2) / 4 et sin ...    

exo 2 :

■ i ² = -1 ; i ³ = - i ; i puiss(4) = +1 ; i puiss(5) = i ;

  i puiss(6) = -1 ; ...

  i puiss(8) = +1 ; i puiss(13) = i .

■ il est clair que la période est 4 .

   vérif : [ i puissance(n+4) ] / [ i puiss(n) ]

                 = [ i puiss(n) ] / [ i puiss(n) ] = 1

■ 3a) S1 = i ; S2 = i - 1 ; S3 = -1 ; S4 = 0 ; S5 = i ; S6 = i - 1 ; ...

   S13 = i .

■ 3b) Sn * (1-i) = ( 1+i+ ... + i puiss(n) ) * (1-i)

                       = 1+i+ ... + i puiss(n)

                            -i+ ... - i puiss(n) - i puiss(n+1)

                       = 1 - i puiss(n+1)

          donc Sn = ( 1 - i puiss(n+1) ) / (1-i)

                         = ( 1 - i puiss(n+1) ) * (1+i) / 2

                        = ( 1+i - i puiss(n+1) - i puiss(n+2) ) / 2 ;

■ 3c) cas n = 4p :

         Sn = S4p = 0,5 * (1+i - i -i+1) = 1 - 0,5 i .

         cas n = 4p+1 :

         Sn = S4p+1 = 0,5 * (1+i - i+1  + 1) = 1,5 .

         cas n = 4p+2 :

         Sn = S4p+2 = 0,5 * (1+i + 1 - 0) = 1 + 0,5 i .

         cas n = 4p+3 :

         Sn = S4p+3 = 0,5 * (1+i - 0 - i) = 0,5 .

exo 3 :

■ 1°) (Z puiss(4) - 1) = (Z² + 1) (Z + 1) (Z - 1) .

■ 2°) P(Z) = 0 donne Z = -1 ; Z = +1 ; Z = -i ; ou Z = i .  

■ 3°) on utilise le fait que Z = (2z+1)/(z-1) :

        (2z+1) / (z-1) = -1 donne 2z+1 = -z+1 donc 3z = 0 d' où z = 0 .

        (2z+1) / (z-1) = 1 donne 2z+1 = z-1 donc z = -2 .

        (2z+1) / (z-1) = -i donne 2z+1 = -iz + i donc (2+i)z = i-1

            d' où z = (i-1) / (2+i) = (i-1)(2-i) / 5 = (3i-1)/5

        (2z+1) / (z-1) = i donne 2z+1 = iz - i donc (2-i)z = -1-i

            d' où z = (1+i) / (i-2) = (1+i)(i+2) / (-5) = (-1-3i)/5 .

        vérif pour z = -2 : (2z+1)/(z-1) = -3/-3 = 1 --> vérifié !

        conclusion :

        les solutions sont z1 = 0 ; z2 = -2 ; z3 = (3i-1)/5 ; z4 = (-1-3i)/5 .