bonjour j'ai besoin d'aide sur mon exercice sur les fonction de référence je suis en 1éres voila: résoudre (a) √7-x=2x-4 (b) |3-x|=x-3 (c) x+2<4-x/2x-1

Réponse :

Résoudre

a) √(7 - x) = 2 x - 4

Tout d'abord il faut chercher le domaine de validité de cette équation pour qu'elle ait un sens

on écrit  7 - x ≥ 0 ⇒ x ≤ 7  ; il faut aussi que 2 x - 4 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2

la résolution de l'équation doit se faire sur l'intervalle [2 ; 7]

√(7 - x)² = (2 x - 4)² ⇔ 7 - x = (2 x - 4)² ⇔ 7 - x = 4 x² - 16 x + 16

⇔ 4 x² - 15 x + 9 = 0

    Δ = 225 - 144 = 81 ⇒ √81 = 9

x1 = 15 +9)/8 = 3  convient  car  3 ∈ [2 ; 7]

x2 = 15-9)/8 = 6/8 = 3/4  ne convient pas car 3/4 ∉ [2 ; 7]

b) |3 - x| = x - 3

on applique la définition de la valeur absolue ⇒ 3 - x = x - 3  si x ≤ 3 et que      

- (3 - x) = x - 3  si  3 - x < 0 ⇒ x > 3

on résous les deux équations

3 - x = x - 3 ⇔ 2 x = 6 ⇒ x = 6/2 = 3

- 3 + x = x - 3   égalité vraie

vérification

|3 - 3| = 3 - 3   vérifié

donc l'ensemble des solution est  S = {3}

c) x + 2 < (4 - x)/(2 x -1)    il faut que 2 x - 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ 1/2  

(x+2)(2 x - 1) - (4 - x)]/(2 x - 1) < 0 ⇔ 2 x² + 3 x - 2 - 4 + x)/(2 x - 1) < 0

⇔ 2 x² + 4 x - 6)/(2 x - 1) < 0 ⇔ 2(x² + 2 x - 3)/(2 x - 1) < 0

x² + 2 x - 3 = (x + 3)(x - 1)

x         - ∞                     - 3                  1/2                    1                     + ∞    

x+3                   -             0         +                    +                      +

x - 1                  -                         -                     -          0           +    

2 x - 1               -                         -            ||       +                       +      

Q                     -             0          +           ||        -          0           +

L'ensemble des solutions est :   S = ] - ∞ ; - 3[U]1/2 ; 1[                      

Explications étape par étape