Bonjour à tous, J'ai un dm à rendre pour la semaine prochaine, qui est à faire sur le logiciel géogébra, en voici l'énoncé: On considère un triangle ABC, et on
Question
J'ai un dm à rendre pour la semaine prochaine, qui est à faire sur le logiciel géogébra, en voici l'énoncé:
On considère un triangle ABC, et on appelle A', B' et C' les milieux respectifs des segments [BC], [CA] et [AB]. On note O le centre du cercle circonscrit au triangle ABC, H son orthocentre, et G son centre de gravité.
1. Figure avec le logiciel de géométrie dynamique GeoGebra
a. Réaliser une figure à l’aide du logiciel. Pour plus de clarté, on veillera à utiliser des couleurs pour distinguer les différentes droites remarquables (médianes, hauteurs, médiatrices) du triangle.
b. Expliquer sur la copie la procédure pour obtenir les points O, H et G (Rappel des définitions).
2. Autour du centre de gravité
a. Sur la figure, construire le point G', symétrique de G par rapport au point C'.
b. Démontrer que le quadrilatère AGBG' est un parallélogramme.
c. Démontrer que G est le milieu du segment [CG'].
d. Déduire de ce qui précède que : GA + GB + GC = 0
e. Préciser alors quelle est la position du point G sur la médiane [CC'].
3. Droite d'Euler
a. Sur la figure, construire les vecteurs OH et OG .
b. Déplacer les points A, B et C, puis émettre une conjecture sur les points O, G et H. Plus précisément, conjecturer une relation entre les vecteurs OH et OG .
Soit M le point défini par OM= OA + OB + OC.
c. En utilisant la relation de Chasles, prouver que : AM= 2 OA'
d. En déduire que M appartient à la hauteur du triangle ABC issue de A.
e. Démontrer que les points M et H sont confondus.
f. Démontrer que : OA+ OB+ OC= 3 OG+ (GA+GB+GC) puis que OA+OB+OC= 3OG. g. Démontrer alors les conjectures établies au 3. b.
Pour le moment j'ai réalisé toute les constructions demandé ainsi que la partie 1. Merci de m'aidez svpppp
1 Réponse
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1. Réponse scoladan
Bonjour,
1) voir figure
2)
a) figure
b) C' est le milieu de [AB] et de [GG']
⇒ AGBG' est un parallélogramme
c) (AG)//(BG') ⇒ (AA')//(BG') car G ∈ (AA')
Or A' est le milieu de [CB]
⇒ G est le milieu de [CG'] (théorème des milieux dans le triangle CBG')
Soit CG = GG'
d) GA + GB + GC
= 2GG' + GC
= GG' - GG'
= 0
e) CG = GG' et GG' = 2GC'
⇒ CG = 2GC'
⇒ G est au tiers de [CC']
3)
a) voir figure
b) ...
On peut conjecturer que O, G et H sont alignés.
Et que OH = 3OG
c) OM = OA + OB + OC
AM = AO + OM
= OB + OC
= OA' + A'B + OA' + A'C
= 2OA' car A' milieu de [BC] donc A'B + A'C = 0
d) AM = 2OA' ⇒ (AM)//(OA')
Or (OA')⊥(BC) car (OA') est la médiatrice de [BC]
⇒ (AM)⊥(BC)
Or A est un sommet de ABC
Donc (AM) est la hauteur issue de A.
e) H est l'intersection des hauteurs.
On peut démontrer comme au d) que BM = 2OB' et CM = 2OC'
⇒ M est aussi l'intersection des hauteurs
⇒ M = H
f) OA + OB + OC
= (OG + GA) + (OG + GB) + (OG + GC)
= 3OG + (GA + GB + GC)
Or GA + GB + GC = 0
⇒ OA + OB + OC = 3OG
g) On en déduit : OM = 3OG
⇒ O, M et G alignés
Or M = H, donc O, H et G alignés
Et OH = 3OG
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