Je n’y arrive pas pouvez vous m’aidez ?

Réponse : Correction énoncé détaillé.

1) Dans le repère [tex](A;\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC})[/tex], un point [tex]M[/tex] a pour coordonnées [tex](x;y)[/tex] si [tex]\overrightarrow{AM}=x \overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}[/tex].

Donc comme [tex]\overrightarrow{AD}=\frac{2}{5} \overrightarrow{AB}[/tex], alors les coordonnes du point [tex]D[/tex] sont [tex]D(\frac{2}{5} ;0)[/tex].

Pour le point [tex]E[/tex], en utilisant la relation de Chasles, on a:

[tex]\overrightarrow{BE}=2\overrightarrow{BC}\\\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AE}=2(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC})\\\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{BA}+2\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BA}\\\overrightarrow{AE}=-2\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}\\\overrightarrow{AE}=-\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}[/tex].

Donc les coordonnées du point [tex]E[/tex] sont [tex]E(-1;2)[/tex].

Pour le point [tex]F[/tex], [tex]\overrightarrow{AF}=4\overrightarrow{AC}[/tex], donc [tex]F(0;4)[/tex].

2)a) Il faut vérifier que les points [tex]C[/tex] et [tex]D[/tex] vérifient cette équation, car une droite est déterminé par deux points.

Pour le point [tex]C(0;1)[/tex]: [tex]5 \times 0+2\times 1-2=2-2=0[/tex], donc le point [tex]C[/tex] vérifie bien l'équation.

Pour le point [tex]D(\frac{2}{5} ;0)[/tex], [tex]5 \times \frac{2}{5} +2 \times 0-2=2-2=0[/tex], donc le point [tex]D[/tex] vérifie bien l'équation.

Donc une équation de [tex](CD)[/tex] est [tex]5x+2y-2=0[/tex].

b) Déterminons une équation de la droite [tex](BF)[/tex].

Le coefficient directeur [tex]a[/tex] de [tex](BF)[/tex] est:

[tex]a=\frac{y_{F}-y_{B}}{x_{F}-x_{B}} =\frac{4-0}{0-1} =-4[/tex].

On calcule l'ordonnée à l'origine [tex]b[/tex]:

En prenant le point [tex]B(1;0)[/tex], on a [tex]0=-4 \times 1+b\\b=4[/tex].

Donc une équation de [tex](BF)[/tex] est [tex]y=-4x+4[/tex].

Pour montrer que [tex](CD)[/tex] et [tex](BF)[/tex] sont sécantes en [tex]K(2;-4)[/tex], il faut montrer que [tex]K[/tex] vérifie les équations de [tex](CD)[/tex] et [tex](BF)[/tex].

Pour la droite [tex](CD)[/tex]: [tex]5 \times 2+2 \times -4-2=10-8-2=0[/tex], donc [tex]K \in (CD)[/tex].

Pour la droite [tex](BF)[/tex], une équation cartésienne de celle-ci est [tex]-4x-y+4=0[/tex], donc [tex]-4 \times 2-(-4)+4=-8+4+4=0[/tex], donc [tex]K \in (BF)[/tex].

Donc [tex]K[/tex] ets le point d'intersection de [tex](CD)[/tex] et [tex](BF)[/tex].

3) Pour montrer que [tex](AE), (CD)[/tex] et [tex](BF)[/tex] sont concourantes, il faut montrer que le point [tex]K[/tex] appartient à la droite [tex](AE)[/tex].

Déterminons une équation de la droite [tex](AE)[/tex].

Le coefficient directeur [tex]a[/tex] est:

[tex]a=\frac{y_{E}-y_{A}}{x_{E}-x_{A}} =\frac{2-0}{-1-0} =-2[/tex].

L'ordonnée à l'origine [tex]b[/tex] est, en considérant le point [tex]A(0;0)[/tex]:

[tex]0=-2 \times 0+b\\b=0[/tex].

Donc une équation de [tex](AE)[/tex] est [tex]y=-2x[/tex], et une équation cartésienne de celle-ci est [tex]y+2x=0[/tex].

Vérifions que le point [tex]K(2;-4)[/tex] appartient bien à la droite [tex](AE)[/tex]:

[tex]-4+2 \times 2=-4+4=0[/tex], donc le point [tex]K[/tex] appartient bien à la droite [tex](AE)[/tex].

Conclusion: Les droites [tex](AE), (CD)[/tex] et [tex](BF)[/tex] sont concourantes en [tex]K(2;-4)[/tex].