Bonjour pouvez-vous m'aider s'il vous plaie ? Le plan est rapporté à un repère orthogonal (o i j). On considère la fonction p définie sur I= -2;4 par p(x)=-x^3+
Question
Le plan est rapporté à un repère orthogonal (o i j).
On considère la fonction p définie sur I= -2;4 par p(x)=-x^3+3x^2+9x-1.
On note Cp la courbe représentative de p
1.Calculer la fonction dérivée de p sur I.
2.Etudier le signe de p'(x) sur I, puis dresser le tableau de variation de p.
3.Combien de solution(s) possède l'équation p(x) = 0 sur I? Justifier.
On note alpha la plus grande de ces solutions. Donner un encadrement de alpha avec une amplitude de 10^-2.
4.Construire la courbe Cp, sans oublier de tracer les tangentes horizontales. On construira un tableau de valeurs sur la copie.
Echelle: abscisses: 1cm ----1 ordonnées: 1cm----5
1 Réponse
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1. Réponse gryd77
Réponse :
Explications étape par étape
p(x)=-x³+3x²+9x-1
Df=[-2;4]
1)
p'(x)=-3x²+6x+9
2)
On cherche pour quelles valeurs de x, la dérivée s'annule:
Delta = 6²+4.3.9 = 144=12²
p'(x) s'annule pour x=(-6-12)/(-6)=3 et x=(-6+12)/(-6)=-1
Le coefficient de x² dans le trinôme de la dérivée est négatif ==>
la dérivée est positive entre les racines et négative en dehors.
p(-2)=1 ; p(-1)=-6 ; p(3)=26 ; p(4)=19
[tex]\left[\begin{array}{c|ccccccc}x&-2&&-1&&3&&4\\p'(x)&&-&0&+&0&-\\p(x)&1&\searrow&-6&\nearrow&26&\searrow&19\end{array}\right][/tex]
3)
Il y a 2 valeurs solutions de p(x)=0 dans [-2;4]
Dans [-2;-1] la fonction est continue, strictement décroissante et ses valeurs varient de 1 à -6. Par application du Corollaire du Théorème des Valeurs Intermédiaires, il y a une valeur unique "a" dans l'intervalle [-2;-1] pour laquelle p(a) = 0
Il en est de même dans [-1;3] (fonction croissante de -6 à 26
"alpha" appartient à [0,10 ; 0,11]
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