Bonjour, je suis en pleine galère avec cette partie de l'exercice, merci d'avance ! Un maraicher produit des pommes. Il estime le coût de production de x tonnes
Question
Un maraicher produit des pommes. Il estime le coût de production de x tonnes de pommes à f(x)milliers d'euros, où f est la fonction donnée dans la partie A.
(c'est f(x)= x -3+e^-x+2.5 )
1. Quelle quantité de pommes doit-il produire pour minimiser son coût de production ?
2. Le maraîcher vend ses pommes à une coopérative au prix de 1140 euros la tonne.
La recette (en milliers d'euros) générée par la vente de x tonnes de pommes est notée R(x).
a) Justifier que R(x ) = 1,14x .
b) Exprimer le bénéfice B(x ) que rapporte la vente de x tonne de pommes.
3. Dresser le tableau de variation de la fonction B sur l'intervalle [0;+inf[.
4. a) En déduire que l'équation B(x) = 0 admet une unique solution .
b) Déterminer un encadrement de à 10-3 près.
c) En déduire le poids minimal (un nombre entier de kilogrammes) que doit récolter puis vendre le
maraîcher pour amortir ses coûts de production.
1 Réponse
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1. Réponse croisierfamily
Réponse :
le maraîcher doit récolter 1341 kg de pommes
pour amortir son Coût de production !
Explications étape par étape :
■ Coût de produc = f(x) = x - 3 + exp(2,5-x)
dérivons : f ' (x) = 1 - exp(2,5-x)
cette dérivée est positive pour 1 > exp(2,5-x)
0 > 2,5 - x
x > 2,5 tonnes de pommes !
■ 1°) le maraîcher doit produire 2,5 tonnes de pommes
( pour minimiser son Coût de production ! ) .
■ 2a) R(x) = 1,14x puisque 1140 €uros = 1,14 k€ .
■ 2b) B(x) = 1,14x - x + 3 - exp(2,5-x) = 0,14x + 3 - exp(2,5-x) .
B ' (x) = 0,14 + exp(2,5-x)
cette dérivée est toujours positive !
le Bénéfice est donc toujours croissant !
■ 3°) tableau de variation et de valeurs :
x --> 0 1 1,3407 2 2,5 5 10 +∞
f(x) --> 9,2 2,5 1,53 0,65 0,5 2,1 7 +∞
R(x) -> 0 1,14 1,53 2,3 2,85 5,7 11 +∞
B(x) -> -9,2 -1,34 0 1,63 2,35 3,6 4 +∞
■ 4a) la fonction B est croissante ; B(1) est négatif ; B(2) est positif
--> donc il existe bien une valeur unique de x
telle que 1 < x < 2 pour laquelle le Bénéfice est nul !
■ 4b) 1,340 < x < 1,341 tonne de pommes !
j' ai trouvé x = 1,3407 en cherchant l' intersection
de la droite d' équation y = 0,14x + 3
et de la courbe d' équation y = exp(2,5-x) .
■ 4c) le maraîcher doit récolter 1341 kg de pommes
pour amortir son Coût de production !