Bonjour je suis en terminale s et je n'arrive pas à faire cette exercice pourriez-vous m'aider s'il vous plait ? en vous remerciant par avance

Bonjour,

Partie A

1) a)

g(x) = 1 + e⁻ˣ

Primitive de g : G(x) = x - e⁻ˣ

⇒ A₁ = G(a) - G(0)

= a - e⁻ᵃ + 1

b) A₂ = G(1) - G(a)

= 1 - e⁻¹ - a + e⁻ᵃ

2) f(x) = 2x - 2e⁻ˣ + e⁻¹

a) f'(x) = 2 + 2e⁻ˣ

⇒ f'(x) > 0 ⇒ f croissante sur [0;1]   (1)

f(0) = -2 + e⁻¹ ≈ -1,63 donc < 0         (2)

et f(1) = 2 - e⁻¹ ≈ 1,63 donc > 0         (3)

(1), (2) et (3) ⇒ il existe un unique α ∈ [0;1] / f(α) = 0

On trouve α ≈ 0,45 à 10⁻² près

3) A₁ = A₂

⇒ a - e⁻ᵃ + 1 = 1 - e⁻¹ - a + e⁻ᵃ

⇔ 2a - 2e⁻ᵃ + e⁻¹ = 0

⇔ f(a) = 0

⇒ a = α ≈ 0,45

Partie B

1) graphiquement, on constate que g est décroissante sur [0;1].

Donc il faut : b < g(1), soit b < 1 + 1/e

2) (Aire délimitée par la courbe C, l'axe Ox et les droites d'équation x = 0 et x = 1)

= G(1) - G(0)

= 1 - e⁻¹ + 1

= 2 - e⁻¹

(Aire délimitée par l'axe Ox, la droite d'équation y = b et les droites d'équations x = 0 et x = 1)

= 1 x b = b

On veut donc : 2 - e⁻¹ - b = b

soit : b = 1 - 1/2e   (≈ 0,816)