1ES Suites. Bonjours j'ai un exercice sur les suites le prof nous a lencé au defi de le faire mais je ne comprends pas grand choses quelqun pourrai m,aider .Mer

Réponse :

Explications étape par étape

Partie A

U_0=900

U_(n+1) = 0,6.U_n + 200

1)

U_1 = 0,6x900 + 200 = 740

U_2 = 0,6x740 + 200 = 644

2a)

V_n = U_n - 500

V_(n+1) = U_(n+1) - 500 = 0,6.U_n + 200 -500

V_(n+1) = 0,6.U_n - 300

500 x 0,6 = 300

V_(n+1) = 0,6.(U_n - 500)

V_(n+1) = 0,6.V_n

V_n est une suite géométrique de raison 0,6

V_0 = U_0 - 500

V_0 = 400

2b)

V_n est de raison 0,6 positive inférieure à 1 et de premier terme positif

==> V_n est décroissante et tend vers 0 quand n augmente indéfiniment

U_n = V_n +500 est elle aussi une suite décroissante

2c)

V_n : V_0=400 et raison q=0,6

[tex]v_n=v_0\times q^n=400\times0,6^n\\u_n=v_n+500\\\\u_n=400\times0,6^n+500\\[/tex]

2d)

[tex]u_n-500 < 1\\\Leftrightarrow 400\times0,6^n<1\\\Leftrightarrow 0,6^n<\frac{1}{400}\\\Leftrightarrow \ln(0,6^n)<\ln(\frac{1}{400})\\\Leftrightarrow n\ln(0,6)<-\ln(400)\\\Leftrightarrow n>-\frac{\ln(400)}{\ln(0,6)}\\\\\Leftrightarrow n>11,7[/tex]

Le plus petit entier répondant à la question est n=12

Partie B

1000 clients

1)

En 2011, A_0 = 1000 x 90% = 900

==> B_n = 100

En 2012 ; 20% de A_0 part en B soit 900x0,2=180 Il reste 720 anciens clients

20% de B=0 vient en A soit 100x0,2=20 nouveaux clients

==> A_1 = 720+20 = 740

2)

==> B_1 = 1000-740 = 260

A_2 = A_1 x 0,8 + B_1 x 0,2 = 740x0,8 + 260x0,2

En 2013 : A_2 = 644

3)

Année n : A_n et B_n = (1000 - A_n)

Année n+1

A_(n+1) = A_n x 0,8 "20% de départs" + (1000 - A_n) x 0,2 "venant de B"

4)

A_(n+1) = A_n x 0,8 + (1000 - A_n) x 0,2 = A_n x 0,8 + 200 - A_n x 0,2

A_(n+1) = A_n x 0,6 + 200

5)

La suite A_n est la même que la suite U_n étudiée précédemment. Comme dans la partie A, elle va donc tendre vers 500 au fil des années. Les clientèles vont s'équilibrer.