Bonjour j'aurais besoin de vous pour cet exercice de DM. Pouvez vous m'aider ? Merci d'avance à ceux qui le feront

Réponse :

Explications étape par étape

[tex]f(x)=\frac{3x-5}{-x+2} \\[/tex]

1)

[tex]f(-2)=\frac{-6-5}{2+2}=\frac{-11}{4}=-2,75\\f(0)=\frac{-5}{2}=-2,5\\[/tex]

-2 < 0 et f(-2) < f(0)     La fonction semble croissante sur }-infini ; 2[

[tex]f(3)=\frac{9-5}{-3+2}=-4\\f(12)=\frac{36-5}{-12+2}=\frac{31}{-10}=-3,1[/tex]

3 < 12 et f(3) < f(12)     La fonction semble croissante sur } ; +infini[

2a)

[tex]g(x)=-3+\frac{1}{-x+2} \\g(x)=\frac{-3(-x+2)}{-x+2}+\frac{1}{-x+2}\\g(x)=\frac{3x-6+1}{-x+2}\\\\g(x)=\frac{3x-5}{-x+2}=f(x)\\[/tex]

2b)

x  --->  -x+2  --->  1/(-x+2)  --->  1/(-x+2)-3  = f(x)

2c)

la fonction affine x --> -x+2 a pour coefficient directeur a=-1 qui est négatif. Donc cette fonction est décroissante.

2d)

Soit une fonction affine h décroissante : h(x)=mx+p  (m<0)

Prenons 2 nombres a et b tels que [a>b] et [h(a) et h(b) de même signe]

La fonction est décroissante, donc h(a)<h(b)

[tex]\frac{1}{h(a)}-\frac{1}{h(b)} = \frac{h(b)-h(a)}{h(a)h(b)} \\[/tex]

h(a) et h(b) sont de même signe, donc h(a).h(b)>0

h(b)>h(a) ==> h(b)-h(a)>0

Finalement : a > b ==> h(a) < h(b) ==> 1/h(a) > 1/h(b)

Sur ]2 ; +infini[, (-x+2) est toujours négatif et son coefficient directeur est négatif. La fonction affine x --> -x+2 est décroissante donc, la fonction inverse x --> 1/(-x+2) est croissante de même que f : x--> -3+1/(-x+2)

3)

Sur ]-infini ; 2[, (-x+2) garde le même signe (positif) donc, comme précédemment, la fonction f est croissante

PS En prime exceptionnelle, pour le même prix, le graphe de la fonction en fichier attaché.