20 pts..Bonjour a tous svp pouver vous me corriger cette question( la resolution de cette equation dans C) jai trouve -2; -2e(ipi/3) et -2e(i4pi/3) mrc d'avance

Réponse :

z³+8=0 on note que z=-2 est solution évidente

donc notre équation s'écrit (z+2)(az²+bz+c)=0

Explications étape par étape

si on effectue la division euclidienne (z³+8)par (z+2)

on obtient un quotient q=z²-2z+4  et un reste =0

(z+2)(z²-2z+4)=0 (tu peux aussi trouver a ,b, c par comparaison des coefficients  pour moi c'est plus long

z1=-2 ( solution déjà trouvée)

il reste à résoudre z²-2z+4=0

delta= 4-16=-12 donc deux solutions complexes

z2=(2-2iV3)/2=1-iV3  et z3=(2+2iV3)/2=1+iV3

Résoudre   z³ = -8

(-2)³ = -8      

z³ + 8 =0   admet -2 comme solution

on peut mettre z + 2 en facteur

z³ + 8 = (z + 2)(az² + bz + c)  on développe et on identifie les coefficients

       le coefficient de z³ est 1 => a = 1

       le terme constant est 8 => 2c = 8    c = 4

       le coefficient de z est 0  : on trouve 2b + 4 = 0   => b = -2

z³ + 8 = (z + 2)(z² -2z + 4)

z³ + 8 = 0 <=> z + 2 = 0 ou z² -2z + 4 =0

on résout maintenant l'équation

z² -2z + 4 = 0      on calcule le discriminant  ; ∆ = -12     ∆ = 12 i²      

il y a deux solutions

z₁ = ( 2 + √(12i²)/2        z₁ = (2 + 2i√3)/2           z₁ = 1 + i√3

z₂ =    -------                                                       z₂ = 1 -  i√3

cette équation a 3 solutions : -2  ;   1 + i√3  et  1 -  i√3