Bonjour, Je suis en première S et je travaille sur les suites actuellement. Dans un de mes DM j'ai une question classique et rapide mais là je bloque je ne sais

Réponse : Bonjour,

[tex]\sqrt{x} -x \geq 0\\x \leq \sqrt{x} \\x^{2} \leq (\sqrt{x})^{2}\\ x^{2} \leq x\\x^{2}-x \leq 0\\x(x-1) \leq 0[/tex].

On est passé de [tex]x \leq \sqrt{x}[/tex] à [tex]x^{2} \leq (\sqrt{x} )^{2}[/tex], car [tex]x \geq 0, \sqrt{x} \geq 0[/tex], et la fonction carrée est croissante pour [tex]x>0[/tex].

On effectue le tableau de signes:

x                 0                           1                          +∞

x                 Ф            +                           +

x-1                              -             Ф           +

x(x-1)          Ф           -                            +

Donc [tex]x(x-1) \leq 0[/tex] pour [tex]x \in [0;1][/tex], et donc [tex]\sqrt{x} -x \geq 0[/tex], pour [tex]x \in [0;1][/tex].

Par complémentarité, [tex]\sqrt{x}-x \leq 0[/tex], pour [tex]x \in [1;+\infty[[/tex]