J'ai un DM sur les fonction logarithme mais j'y comprend rien.. Aidé moi svp Je dois absolument avoir une bonne note pour essayer d'aller en DUT :,(

Réponse :

f(x) = 3/2) x² - x²ln x + 1    définie sur ]0 ; + ∞[

1) déterminer la limite de f en 0 (on admet que la limite en 0 de la fonction

x→ xln x est 0)

on écrit lim xln(x) = 0

            x→0

f(x) = 3/2) x² - x(xln x) + 1 ⇒ lim f(x) = lim ((3/2) x² - x(xln x) + 1) = 1  

                                             x→0

2) déterminer la limite de f  en + ∞

f(x) = 1/2) x²(3 - 2ln x) + 1

lim f(x) = lim 1/2) x²(3 - 2ln x) + 1 = - ∞   car lim 1/2) x² = + ∞ et lim(3 - 2ln x)= - ∞

x→+ ∞                                                             x→+∞                      x→+∞

3) on désigne par f ' la fonction dérivée de f

a) montrer que pour tout x de ]0 ; + ∞[  f '(x) = 2 x(1 - ln x)

f(x) = 3/2) x² - x²ln x + 1

f '(x) = 3 x - (2 xln x + 1/x) x²) = 3 x - 2 x ln x - x = 2 x - 2 x ln x = 2 x(1 - ln x)

b) étudier le signe de f' (x) suivant les valeurs de x

f '(x) = 0  = 2 x (1 - ln x) ⇒ 1 - ln x = 0  et   x > 0 ⇒ 2 x > 0

ln x = 1 ⇔ e^(ln x) = e¹   or  e^ln x = x  ⇒ x = e = 2.71...

x       0                    e                      + ∞

2 x                +                    +

1 - ln x           +                    -  

f '(x)               +                     -

f '(x)  > 0   sur  ]0  ; e]   et  f '(x) < 0 sur [e ; + ∞[

4) établir le tableau de variation de f

x       0                   e                    + ∞

f(x)    1 →→→→→→→→ 3.7 →→→→→→→ - ∞

            croissante        décroissante

5) a)  justifier que l'équation f(x) = 0 admet une unique solution α dans l'intervalle ]0 ; + ∞[  

pour cette question la valeur de α peut être déterminée à partir du graphe

6) l'équation de la tangente au point d'abscisse 1  est:

y = f(1) + f '(1)(x - 1)

f(1) = 5/2

f '(1) = 2

⇒ y = 5/2 + 2(x - 1) = 5/2 + 2 x - 2 = 2 x + 1/2

Explications étape par étape