Bonjour j'aurais arment besoin d'aide pour cette question, merci d'avance! Déterminez x et y deux entiers naturels tels que x² - y² = 5440 et PGCD (x,y) = 8

Réponse :

(88;48) et (344;336)

Explications étape par étape

PGCD(x;y)=8 ==> x=8k ; y=8p avec PGCD(k;p)=1

x²-y²=5440

<==> (8k)²-(5p)² = 5440

<==> 64k²-64p²=64*85

<==> k²-p²=85

<==> (k+p)(k-p)=85

les diviseurs positifs de 85 sont : 1, 5, 17 et 85

on peut donc décomposer 85 seulement de 2 façons : 85*1 et 17*5

k et p sont donc les solutions des systèmes suivants :

[tex]\left\{\begin{array}{l}k+p=85\\k-p=1&\end{array}\right.\Longrightarrow\left\{\begin{array}{l}k=43\\p=42&\end{array}\right.\\\\\left\{\begin{array}{l}k+p=17\\k-p=5&\end{array}\right.\Longrightarrow\left\{\begin{array}{l}k=11\\p=6&\end{array}\right.[/tex]

On obtient donc

[tex]\left\{\begin{array}{l}k=43\\p=42&\end{array}\right.\Longrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=344\\y=336&\end{array}\right.\\\\\left\{\begin{array}{l}k=11\\p=6&\end{array}\right.\Longrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=88\\y=48&\end{array}\right.\\[/tex]