Bonsoir sil vous plait est ce que quelqu'un pourrait m'aider avec mon exos parti A parti B de maths merci

Réponse :

Explications étape par étape

Tu voulais une réponse à la deuxième partie qui a disparu. J'en avais une copie que je joins

Résumé de la partie A :

[tex]x\in]0;+\infty[\\f(x)=\frac{1+\ln x}{x^2} \\f'(x)=\frac{-1-2\ln x}{x^3}\\[/tex]

[tex]\left|\begin{array}{c|lccccccc}x&0&&\frac{1}{e}&&\frac{1}{\sqrt{e}}&&+\infty\\f'(x)&\|&+&&+&0&-\\f(x)&\|_{-\infty}&\nearrow&0&\nearrow&\frac{e}{2}&\searrow&0\end{array}\right|[/tex]

PARTIE B:

1)

Équation de la tangente au point d'abscisse "a" : y = f'(a)(x-a)+f(a)

a = 1

f(a) = (1+0)/1 = 1

f'(a) = (-1-0)/1 = -1

[tex]T_1 : y=d_1(x)=-1(x-1)+1\\d_1(x)=-x+2\\d_1(2)=0\\[/tex]

2)

[tex]x=a\\f(a)=\frac{1+\ln a}{a^2}\\f'(a)=\frac{-1-2\ln a}{a^3}\\\\[/tex]

On veut [tex]d_a(2)=0\\[/tex]

[tex]x=a\\f(a)=\frac{1+\ln a}{a^2}\\f'(a)=\frac{-1-2\ln a}{a^3}\\\\d_a(x)=\frac{(-1-2\ln a)}{a^3}(x-a)+\frac{1+\ln a}{a^2}\\d_a(2)=0\Rightarrow \frac{1}{a^3} \big[(-1-2\ln a)(2-a)+a(1+\ln a) \big]=0\\\Rightarrow \big[(-2+a-4\ln a+2a\ln a)+a+a\ln a) \big]=0\\\Rightarrow 3a\ln a+2a-4\ln a-2=0\\[/tex]

[tex]g(x)=3x\ln x+2x-4\ln x-2[/tex]

3)

[tex]g(x)=3x\ln x+2x-4\ln x-2\\a(x)=x\ln x \Rightarrow a'(x)=\ln x + \frac{x}{x}=1+\ln x\\g'(x)=3(1+\ln x)+2-\frac{4}{x}\\ g'(x)=3\ln x+5-\frac{4}{x}\\ \\g''(x)=\frac{3}{x}+\frac{4}{x^2}\\\\g''(x)=\frac{3x+4}{x^2}\\[/tex]

4)

Sur |R+*, g''(x) est positive, donc g'(x) est croissante

5)

[tex]\lim_{ x \to 0_+} \ln x = -\infty\\\lim_{x \to 0_+} \frac{-4}{x} = -\infty\\\\\Rightarrow  \lim_{x \to 0_+} g'(x)=-\infty\\\\ \lim_{ x \to +\infty} \ln x = +\infty\\\lim_{x \to +\infty} \frac{-4}{x} = 0\\\\\Rightarrow  \lim_{x \to +\infty} g'(x)=+\infty\\[/tex]

g'(x) continue, strictement monotone de -oo à +oo

D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, une et une seule valeur alpha telle que g'(alpha) = 0

[tex]\alpha\in[0,87;0,88][/tex]

6)

[tex]g(x)=3x\ln x+2x-4\ln x-2\\=x(3\ln x+2-4\frac{\ln x}{x}-\frac{2}{x} )\\\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x}=0\\\\ \Rightarrow\lim_{x \to +\infty} g(x)=+\infty\\\\\lim_{x \to 0_+}x\ln x=0\\\\\Rightarrow  \lim_{x \to 0_+}=+\infty[/tex]

[tex]g(\alpha)\approx -0,066 < 0[/tex]

[tex]\left|\begin{array}{c|lcccc}x&0&&\alpha&&+\infty\\g'(x)&\|&-&0&+\\g(x)&\|\ +\infty&\searrow&\approx-0,066&\nearrow&+\infty\end{array}\right|[/tex]

7)

De nouveau, application du corollaire du TVI, entre 0 et alpha, puis entre alpha et l'infini

2 solutions a=1 et a=environ 0,75