bonjour je n'arrive pas a résoudre sa par récurrence conjugué de z exposant n = (conjugué)n pourriez vous me donner des piste sur ce que je devrais faire merci

Bonjour,

Soit z∈ℂ. On note z* le conjugué le z.

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Rappel de cours : [Conjugué d'un produit]

∀a,b∈ℂ, (a×b)* = a*×b*

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Montrons par récurrence sur n∈ℕ la propriété P : " (zⁿ)* = (z*)ⁿ "

Initialisation :

(z⁰)* = 1* = 1 = (z*)⁰, donc P est vraie au rang 0.

Hérédité :

On suppose P vraie pour un certain n∈ℕ. Montrons que P est vraie à l'ordre (n+1).

(zⁿ⁺¹)* = (zⁿ×z)* = (zⁿ)*×z*

Or  (zⁿ)* = (z*)ⁿ par hypothèse de récurrence.

D'où (zⁿ⁺¹)* = (z*)ⁿ×z* = (z*)ⁿ⁺¹, donc P est vraie au rang (n+1)

Conclusion :

∀n∈ℕ, P est vraie.