1ereS : Bonjour, je n'arrive pas à faire cet exercice, pouvez-vous m'aider s'il vous plaît ? Merci d'avance

Réponse : Bonsoir,

1)a)[tex]V=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{3}n_{i}(x_{i}-\overline{x})^{2}\\V=\frac{1}{N} n_{1}(x_{1}-\overline{x})^{2}+\frac{1}{N} n_{2}(x_{2}-\overline{x})^{2}+\frac{1}{N} n_{3}(x_{3}-\overline{x})^{2}\\V=\frac{n_{1}(x_{1}^{2}-2x_{1}\overline{x}+\overline{x}^{2})}{N} +\frac{n_{2}(x_{2}^{2}-2x_{2}\overline{x}+\overline{x}^{2})}{N}+\frac{n_{3}(x_{3}^{2}-2x_{3}\overline{x}+\overline{x}^{2})}{N}\\[/tex]

(suite)

[tex]V=\frac{n_{1}x_{1}^{2}+n_{2}x_{2}^{2}+n_{3}x_{3}^{2}}{N}+\frac{-2n_{1}x_{1}\overline{x}-2n_{2}x_{2}\overline{x}-2n_{3}x_{3}\overline{x}}{N} +\frac{n_{1}\overline{x}^{2}+n_{2}\overline{x}^{2}+n_{3}\overline{x}^{2}}{N}[/tex]

Or [tex]\frac{-2n_{1}x_{1}\overline{x}-2n_{2}x_{2}\overline{x}-2n_{3}x_{3}\overline{x}}{N} =\frac{-2\overline{x}(n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}+n_{3}x_{3})}{N}=-2\overline{x}\overline{x}=-2\overline{x}^{2}\\\frac{n_{1}\overline{x}^{2}+n_{2}\overline{x}^{2}+n_{3}\overline{x}^{2}}{N} =\frac{\overline{x}^{2}(n_{1}+n_{2}+n_{3})}{N} =\overline{x}^{2}\frac{N}{N} =\overline{x}^{2}[/tex].

En regroupant, on trouve:

[tex]V=\frac{n_{1}x_{1}^{2}+n_{2}x_{2}^{2}+n_{3}x_{3}^{2}}{N} -2\overline{x}^{2}+\overline{x}^{2}\\V=\frac{n_{1}x_{1}^{2}+n_{2}x_{2}^{2}+n_{3}x_{3}^{2}}{N} -\overline{x}^{2}\\V=\frac{1}{N} (n_{1}x_{1}^{2}+n_{2}x_{2}^{2}+n_{3}x_{3}^{2})-\overline{x}^{2}[/tex]