SVP vous pourriez m'aider et merci en fait c'est un exercice de maths et j'ai pas su le faire aidez moi

Bonsoir,

(1) Montrons par récurrence, sur n∈ℕ*, la propriété P : [tex]"\frac{1}{2} \leq \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}"[/tex]

Initialisation : [tex]\frac{1}{1+1} =\frac{1}{2}[/tex], d'où [tex]\frac{1}{2} \leq \frac{1}{1+1}[/tex], donc P est vraie au rang 1.

Hérédité : On suppose P vraie pour un certain n∈ℕ*. Montrons que P est vraie au rang (n+1). Comme n est strictement positif, alors [tex]0 < \frac{1}{2n+1}[/tex], d'où [tex]0 \leq \frac{1}{2n+1}[/tex], d'où [tex]\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n} \leq \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+1}[/tex], or [tex]\frac{1}{2} \leq \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}[/tex] par hypothèse de récurrence, d'où [tex]\frac{1}{2} \leq \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+1}[/tex], donc P est vraie au rang (n+1).

Conclusion : Pour tout n∈ℕ*, P est vraie.

(2) Soient p,k∈ℝ tels que p+k ≠ 0

Alors [tex]\frac{1}{p} (1-\frac{k}{p+k} )=\frac{1}{p} (\frac{p+k}{p+k} -\frac{k}{p+k} )=\frac{1}{p}* \frac{p}{p+k}=\frac{1}{p+k}[/tex]

(3) Soit n∈ℕ*

Alors [tex]\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}=\sum\limits^n_{k=1} {\frac{1}{n+k}} = \sum\limits^n_{k=1} {\frac{1}{n} (1-\frac{k}{n+k} )}=\frac{1}{n}*\sum\limits^n_{k=1} { (1-\frac{k}{n+k} )}[/tex][tex]=(\frac{1}{n}*\sum\limits^n_{k=1} {1})-(\frac{1}{n}*\sum\limits^n_{k=1} {\frac{k}{n+k}})=\frac{1}{n}*n-\frac{1}{n}*\sum\limits^n_{k=1} {\frac{k}{n+k}}=1-\frac{1}{n}*\sum\limits^n_{k=1} {\frac{k}{n+k}}[/tex]

D'où [tex]\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n} \leq \frac{3}{4} \Leftrightarrow 1-\frac{1}{n}*\sum\limits^n_{k=1} {\frac{k}{n+k}} \leq \frac{3}{4} \Leftrightarrow \frac{1}{4} \leq \frac{1}{n}*\sum\limits^n_{k=1} {\frac{k}{n+k}}[/tex]

Autrement dit, montrer que [tex]\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n} \leq \frac{3}{4}[/tex] revient à montrer que [tex]\frac{1}{4} \leq \frac{1}{n}*\sum\limits^n_{k=1} {\frac{k}{n+k}}[/tex]

Je te laisse finir la preuve.