Bonjour je suis en terminale scientifique et je ne comprend pas mon exercice des la première question est ce que une personne pourrez passer un peu de temps pou

Réponse : 1)  On a:

[tex]z_{n+1}=2z_{n}+i(n-2)\\z_{n+1}=2(a_{n}+ib_{n})+i(n-2)\\a_{n+1}+ib_{n+1}=2a_{n}+(2b_{n}+n-2)[/tex]

Par identification de la partie réelle, on a [tex]a_{n+1}=2a_{n}[/tex], donc [tex](a_{n})[/tex] est une suite géométrique de raison 2 et de premier terme [tex]a_{0}=Re(z_{0})=1[/tex].

2) De l'égalité trouvée ci-dessus, en identifiant la partie imaginaire, on obtient que [tex]b_{n+1}=2b_{n}+n-2[/tex], pour tout entier naturel [tex]n[/tex].

3) Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel [tex]n[/tex], [tex]b_{n}=1-n[/tex].

Initialisation: Pour [tex]n=0, b_{0}=1=1-0[/tex], donc la propriété est vraie à l'ordre [tex]n=0[/tex].

Hérédité: Supposons la propriété vraie à l'ordre [tex]n[/tex], donc que [tex]b_{n}=1-n[/tex], et montrons le à l'ordre [tex]n+1[/tex], donc que [tex]b_{n+1}=1-(n+1)[/tex].

On a:

[tex]b_{n+1}=2b_{n}+n-2\\b_{n+1}=2(1-n)+n-2\\b_{n+1}=2-2n+n-2\\b_{n+1}=-n=1-(n+1)[/tex]

Donc la propriété est vraie à l'ordre [tex]n+1[/tex], donc pour tout entier naturel [tex]n, b_{n}=1-n[/tex].

4) [tex]z_{n}=a_{n}+ib_{n}[/tex].

[tex](a_{n})[/tex] est une suite géométrique de raison 2 et de premier terme [tex]a_{0}=1[/tex], donc:

[tex]a_{n}=a_{0} \times 2^{n}=1 \times 2^{n}=2^{n}[/tex].

Donc, l'expression de [tex]z_{n}[/tex] en fonction de [tex]n[/tex] est [tex]z_{n}=a_{n}+ib_{n}=2^{n}+i(1-n)[/tex]